여러분은 혹시 72법칙에 대해 들어보신 적이 있나요? 흔히 복리의 원리를 설명하는 개념으로도 많이 소개가 되는데요, 이 72법칙이란 복리투자를 통해 원금을 두 배 늘리는데 걸리는 시간을 매우 쉽게 계산할 수 있는 공식입니다. 72를 연이율로 나누면 원금이 두 배가 되기까지의 시간을 대략적으로 알 수 있죠. 오늘은 이 72의 법칙이 어떤 원리로 나온건지 알아보도록 하겠습니다.
72법칙의 수학적 증명
72법칙을 알기 위해서는 먼저 복리의 계산 방법을 알아야 합니다. 옛날에 단리와 복리에 대해서 간단하게 정리한 포스팅이 있으니 참고하시기 바랍니다.
2017/11/13 - [저축] - 예적금 단리 복리 차이점 알아보기
위의 포스팅을 요약하자면, 복리 계산 공식은 다음과 같습니다.
n년 후 원리금 = 원금 × (1+연이율)n -------- (1)
예를 들어, 원금 100만원을 연이율 3%로 10년간 복리로 저축(예금)했다면 10년 후 원리금은 아래와 같이 계산될 거에요.
100만원 × (1+0.03)10 = 약 134만원
그러면 만약 연이율 r(%가 아님, 만약 연이율 3%라면 0.03으로 계산해야 함)로 예금을 들었을 때, 원금의 2배가 되는 기간은 어떻게 계산할까요? 위의 공식을 조금만 바꿔보면 쉽게 알 수 있습니다. 아래 '...더보기'를 클릭해보세요. (굳이 수학적 증명이 궁금하지 않은 분들이라면 이 부분은 넘어가셔도 됩니다.)
2 = 1 × (1+r)n -------- (2)
여기서 숫자 2는 원금의 2배를 뜻하며, 숫자 1은 원금을 뜻합니다. 즉, 1에다가 연이율 r으로 n년동안 투자하면 2가 된다는 것을 나타낸 공식이죠. 식 (2)에서 n값을 구하기 위해서는 식 (3)과 같이 양변에 자연로그(ln)를 취해주어야 합니다.
ln2 = n × ln(1+r) -------- (3)
ln2 / n = ln(1+r) -------- (4)
식 (3)에서 양변에 n을 나누면 식 (4)가 됩니다. 식 (4)에서 우변의 ln(1+r)은 테일러급수 형태로 변형이 가능합니다. (테일러급수 정리 : 위키백과)
여기서 만약 r이 0에 근접한 작은 숫자로 수렴한다면, 우변에서 r을 제외한 항들을 모두 제거할 수 있습니다. 그리고 ln2 = 0.693이므로, 위의 공식은 최종적으로 아래와 같이 단순화 할 수 있습니다.
위의 식 (6)이 뜻하는게 뭘까요? r은 연이율이고 n은 투자년수 였으니, 만약 연이율 3%의 복리로 투자할 경우 원금이 2배가 되는 n값은 0.693/0.03을 계산하면 됩니다. 계산해보니 대략 23.1년이 나오네요. 만약 r을 %로 대입한다면 우변 분자에 100을 곱하면 됩니다.
정리하자면, 연이율 r%로 원금의 2배가 되는 투자년수 n을 구하기 위한 공식은 다음과 같습니다.
그런데 이상하죠? 우리는 72법칙을 유도하려고 했는데, 공식을 증명해보니 69.3법칙이 아닌가 의심이 듭니다. 실제로 연이율 r이 0%에 가깝다면 이론적으로 69법칙으로 불려야 하는게 맞습니다.
그러나, r이 조금씩 커질 수록 72에다가 r을 나눠도 대략적인 투자년수 n값을 구할 수 있으며, 72가 69보다 더 잘 나눠떨어지는 숫자이기 때문에, 보편적으로 69대신 72라는 값을 사용하고 있는 것입니다. 예를 들어 72를 2, 3, 4, 6, 8로 나눠보면 암산으로도 쉽게 나눗셈이 가능하지만, 69에 나누면 쉽게 계산하기가 어렵습니다.
참고로, 이 72법칙은 아래 조건 중 ①번 조건에 해당되는 경우에만 사용할 수 있으며, ②번과 ③번 조건을 만족할 수록 실제 계산값에 더 가까워집니다.
· 72법칙을 사용할 수 있는 조건
① 적금(또는 적립식 투자)이 아닌 예금(거치식 투자)이어야 함.
② 복리의 재투자기간이 1년 단위여야 계산 정확도가 높음.
③ 연이율(수익률)이 25% 이내일 수록 계산 정확도가 높음.
72법칙과 실제 복리 계산과의 차이 비교
72법칙을 수학적으로 증명해보니 원래는 69.3법칙이 더 정확하네요. 실제로 연이율이 작을 수록 69법칙이 더 정확하며, 연이율이 커질 수록 72법칙에 더 잘 맞게 됩니다. 그러나 중요한 것은 이 공식은 대략적인 값만을 계산하는 것이며, 실제 원금의 2배가 되는 년수와는 약간의 오차가 있습니다.
그렇다면 72법칙을 사용한 결과와 실제로 원금이 2배가 되는 기간과는 어느정도의 오차가 있을까요? 각각의 연복리 이자율에 대해 계산해 보았습니다. (소숫점 둘째자리 이하는 반올림)
| 연이율(수익률) | 실제 복리계산 | 72법칙 | 69법칙 |
|---|---|---|---|
| 1.0% |
69.7년 |
72년 | 69년 |
| 1.5% | 46.6년 | 48년 | 46년 |
| 2.0% | 35년 | 36년 | 34.5년 |
| 2.5% | 28.1년 | 28.8년 | 27.6년 |
| 3.0% | 23.4년 | 24년 | 23년 |
| 3.5% | 20.1년 | 20.6년 | 19.7년 |
| 4.0% | 17.7년 | 18년 | 17.3년 |
| 5.0% | 14.2년 | 14.4년 | 13.8년 |
| 6.0% | 11.9년 | 12년 | 11.5년 |
| 7.0% | 10.2년 | 10.3년 | 9.9년 |
| 8.0% | 9년 | 9년 | 8.6년 |
| 9.0% | 8년 | 8년 | 7.7년 |
| 10.0% | 7.3년 | 7.2년 | 6.9년 |
| 15.0% | 4.9년 | 4.8년 | 4.6년 |
| 20.0% | 3.8년 | 3.6년 | 3.5년 |
| 25.0% | 3.1년 | 2.9년 | 2.8년 |
표에서 보시다시피 연복리 이자율이 낮은 경우(1.0%~3.5%)에는 69법칙이 실제 값과 더 유사하지만, 이자율이 높아질수록(4.0%~15.0%) 72법칙의 결과값에 더 가까워지는 것을 확인할 수 있습니다. 이자율이 더 높아지면 실제값과의 차이가 더 크게 벌어지지만, 매년 20% 이상의 수익을 올릴 수 있는 투자상품은 없으므로 여기까지 고려할 필요는 없어보이네요.
사실 69의 법칙이나 72의 법칙 중 아무거나 써도 무관합니다. 왜냐면 이 법칙들은 정확한 투자기간을 산출하려기보다는 대략적인 투자기간을 파악하는데 사용하기 때문이죠. 그래서 몇몇 사람들은 69나 72가 아닌 70법칙 으로도 사용하곤 합니다.
마치며
오늘은 복리계산을 쉽게 할 수 있는 72법칙에 대해 알아보았습니다. 정리하자면 수학 공식에 단순한 가정을 더함으로써 공식을 단순화 한 것이라고 볼 수 있겠네요. 단 실제 복리 계산과는 약간의 오차가 생길 수 있다는 점은 숙지하고 있어야겠네요.
참고로, 72법칙은 적금에 적용하는 공식은 아닙니다. 적금은 매달 새로운 금액을 불입하기 때문이죠. 원금이 일정한 예금과 같은 투자상품에 적합한 공식이라는 것도 기억하시기 바랍니다.
단리의 경우는 어떻게 계산할까요? 단리는 원금에만 이자가 붙기 때문에 100의 법칙을 적용하여 계산하면 됩니다. 예를 들면, 단리 이자율 2%의 예금상품에 가입할 경우 50년 뒤에 원금의 2배가 될 것이며, 단리 이자율 5%라면 20년 뒤에 원금의 2배가 되겠네요.
